任意两个自然数互质的概率

任意两个自然数互质的概率是多少?
答案是：
这多少有点令人惊讶：竟然跟圆周率有关！实际上只要知道：

那么，这个结论也是显然的！

证明：
任取两个自然数，令，其中表示最大公约数。
下面我们分析一下的意思：
实际上就是说：我们选取和的时候必须从的倍数中去选取，并且。
言下之意：

另一方面，显然有：

由(1)(2)(3)知：

证毕！

蒙特卡罗仿真，matlab代码如下：

%% code begin
clc;
MaxInt=2^53-1;
kMax=10000;
m=0;
for k=1:kMax
x=randi(MaxInt,1,2);
if gcd(x(1),x(2))==1
m=m+1;
end
end
p=m/kMax;
pi_Monte_Carlo=sqrt(6/p)
%% code end

运行结果如下：
pi_Monte_Carlo = 3.1458

可见pi_Monte_Carlo约等于,理论跟试验吻合得很好!

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重返Blogger！

已经快有1年没有更新blogger了，在过去的一年中比较忙，但是这都不是借口，以后一定要坚持更新！！！

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